نقاط برشی در فضاهای توپولوژیک

برای مطالعه ی‎‎ نقاط برشی ، فضاهای توپولوژیک همبند با حداقل دو نقطه در نظرگرفته می شوند. یک نقطه ی برشی از فضای توپولوژیک x‎ نقطه ای مثل ‎x‎ است به طوری که ‎x-x‎ ناهمبند باشد. این سوال که آیا نقاط غیر برشی وجود دارند، درمباحث نقاط برشی اهمیت ویژه ای دارد. اگر یک فضا حداقل دو نقطه غیربرشی داشته باشد گوئیم قضیه وجودی نقطه ی غیر برشی برای فضا برقراراست. این قضیه برای هر فضای همبند بر قرار نیست. به عنوان مثال محور اعداد حقیقی و خط ‎خالیمسکی فضاهای همبند هستند اما قضیه ی وجودی نقطه ی غیربرشی برای آنها برقرار نیست. قضیه وجودی نقاط غیربرشی برای فضاهای همبند فشرده ی هاسدورف توسط مور در سال‎ 1920‎ ثابت شد ‎‎. وایبرن این قضیه را برای فضاهای همبند فشرده ‎t_{1}‎ ثابت کرده است ‎‎. بر اساس این حقیقت که بسیاری از فضاهای همبند که نقش مهمی در مطالعه نقاط برشی ایفا می کند (مانند خط خالیمسکی) ‎ t_{1} ‎ نیستند؛ سعی شده است که از اصل های جداپذیری دوری شود. قضیه ی وجودی نقاط برشی در ‎ برای فضاهای همبند ‎h(i)‎ ثابت شده است. شرط ‎h(i)‎ ضعیف تر از مفهوم فشردگی است به عبارتی دیگر به وضوح دیده می شود که هر فضای فشرده یک فضای ‎ h(i)‎ است. بنابراین قضیه ی وجودی نقاط غیربرشی که در بالا گفته شد برای فضاهای همبند و فشرده به صورت قوی تری برقراراست ‎‎. در ادامه کامبج‎ و کومار‎ معطوف این امر شدند که شرط را از این هم قوی تر کنند. آن ها قضیه وجودی نقاط غیربرشی برای فضاهای همبندی که فقط تعداد متناهی نقطه بسته دارد ثابت کردند ‎. خالیمسکی ثابت کرد برای هر کاتز یک ترتیب کلی وجود دارد و برعکس. در ادامه کامبج و کومار و خالیمسکی بر روی قضیه ی وجودی نقاط برشی بر فضاهای کاتز و ‎ h(i) ‎ و ویژگی های این فضاها مطالعه انجام دادند. این ریاضی دانان توانستند مشخصه هایی از بازه ی واحد بسته و شرایطی که بازه ی واحد بسته با کاتز و ‎ h(i) ‎ همسانریخت می شود را به دست آورند.